\( \sin^3 x \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

将被积函数 \( \sin^3 x \) 写成 \( \sin^2 x \) 和 \( \sin x \) 的乘积：

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) 将积分写为：

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

展开 \( (1 - \cos^2 x)\sin x \) 并写出：

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

使用换元积分法：令 \( u = \cos x \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) 或 \( du = -\sin x \, dx \)。代入后得：

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

使用积分公式计算积分：

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = \cos x \) 得到最终答案：